Сложение вычитание корней

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Если вам требуется только приблизительное значение, это можно сделать на калькуляторе путём подсчёта значения квадратных корней. Отдельно для каждого числа вычисляется значение и записывается с необходимой точностью, которая определяется количеством знаков после запятой. Далее совершаются все требуемые операции, как с обычными числами.

Пример вычисления приблизительного значения

Необходимо вычислить приблизительное значение данного выражения √7 + √5.
В итоге получаем:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Обратите внимание: ни при каких условиях не следует производить сложение квадратных корней, как простых чисел, это совершенно недопустимо. То есть, если сложить квадратный корень из пяти и из трёх, у нас не может получиться квадратный корень из восьми.

Полезный совет: если вы решили разложить число на множители, для того, чтобы вывести квадрат из-под знака корня, вам необходимо сделать обратную проверку, то есть перемножить все множители, которые получились в результате вычислений, и в конечном результате этого математического расчёта должно получиться число, которое нам было задано первоначально.

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Свойства квадратных корней

Свойства квадратных корней

До сих пор мы осуществляли над числами пять арифметических операций: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях активно использовали различные свойства этих операций, например а + b = b + а, аn-bn = (аb)n и т.д.

В этой главе введена новая операция — извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Чтобы успешно ее использовать, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.

Доказательство. Введем следующие обозначения:
Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х = yz.


Итак, х2 = ab, у2 = а, z2 = b. Тогда х2 = y2z2, т. е. х2 = (yz)2.

Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то и сами числа равны, значит, из равенства х2 = (yz)2 следует, что х = yz, а это и требовалось доказать.

Приведем краткую запись доказательства теоремы:


Замечание 1. Теорема остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух не отрицательных множителей.

Замечание 2. Теорему 1 можно оформить, используя конструкцию «если… , то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а и b — неотрицательные числа, то справедливо равенство .

Следующую теорему мы именно так и оформим.


(Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней или корень из частного равен частному от корней.)

Доказательство.

На этот раз мы приведем только краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что составили суть доказательства теоремы 1.


Пример 1. Вычислить .
Решение. Воспользовавшись первым свойством квадратных корней (теорема 1), получаем

Замечание 3. Конечно, этот пример можно решить по-другому, особенно если у вас под рукой микрокалькулятор: перемножить числа 36, 64, 9, а затем извлечь квадратный корень из полученного произведения. Однако, согласитесь, предложенное выше решение выглядит более культурно.

Пример 2.

Замечание 4. При первом способе мы проводили вычисления «в лоб». Второй способ изящнее:
мы применили формулу а2 — b2 = (а — b) (а + b) и воспользовались свойством квадратных корней.

Замечание 5. Некоторые «горячие головы» предлагают иногда такое «решение» примера 3:

Это, конечно, неверно: вы видите — результат получился не такой, как у нас в примере 3. Дело в том, что нет свойства , как нет и свойства Имеются только свойства, касающиеся умножения и деления квадратных корней. Будьте внимательны и осторожны, не принимайте желаемое за действительное.

Пример 4. Вычислить: а)
Решение. Любая формула в алгебре используется не только «справа налево», но и «слева направо». Так, первое свойство квадратных корней означает, что в случае необходимости можно представить в виде , и обратно, что можно заменить выражением То же относится и ко второму свойству квадратных корней. Учитывая это, решим предложенный пример.

Завершая параграф, отметим еще одно достаточно простое и в то же время важное свойство:
если a > 0 и n — натуральное число, то

Пример 5. Вычислить , не используя таблицу квадратов чисел и микрокалькулятор.

Решение. Разложим подкоренное число на простые множители:

Замечание 6. Этот пример можно было решить так же, как и аналогичный пример в § 15. Нетрудно догадаться, что в ответе получится «80 с хвостиком», поскольку 802 < 7056 < 902. Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Проверить надо только два числа: 84 и 86, поскольку только они при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 6, т.е. той же цифрой, которой оканчивается число 7056. Имеем 842 = 7056 — это то, что нужно. Значит,
Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

Книги, учебники математике , конспект на помощь учителю и ученикам, учиться онлайн

конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.