Равнобедренный треугольник гипотенуза

Определение и формулы равнобедренного прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.

Если катеты прямоугольного треугольника равны, то такой треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Для равнобедренного прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны по ;
  • Теорема Пифагора. В равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета:

  • Сумма острых углов такого треугольника равна :

  • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:

  • Две высоты равнобедренного прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
  • Центр описанной окружности вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
  • Медиана равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является биссектрисой и высотой, а также радиусом описанной около этого треугольника окружности:

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольникОписанная и вписанная окружность в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Расстояние между центрами окружностей одинаковы: d = r {\displaystyle d=r\,} .Равнобедренный прямоугольный треугольник и обычный равнобедренный треугольник с равными описанной и вписанной окружностями d = r {\displaystyle d=r\,} .

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

α = β = 45 ∘ = π 4 , {\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,}

третий внутренний угол — прямой:

γ = 180 ∘ − 2 α = 90 ∘ = π 2 , {\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,}

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

a = b = c 2 2 , {\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,}

а основание равно:

c = a 2 , {\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,}

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

v c = a 2 2 = c 2 = R , {\displaystyle v_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,}

где R — радиус описанной окружности.

> Периметр

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

P = a + b + c = a ( 2 + 2 ) . {\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,.}

Общие характеристики

Описанная и вписанная окружности

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

Неправильное покрытие евклидовой плоскости равнобедренными прямоугольными треугольникамиПоляболы с одним-пятью основными символамиЧетыре равнобедренных прямоугольных треугольника вместе с другими семью основными фигурами образуют Бермудский треугольник, версию головоломки пазл

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

d 2 = R ( R − 2 r ) = a 2 2 ( 3 − 2 2 ) {\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,} d = r = a 2 ( 2 − 2 ) = a 1 2 ( 3 − 2 2 ) ≈ 0 , 2928932 a . {\displaystyle d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,.}

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ( d = r {\displaystyle d=r\,} ), имеет углы:

α = β = a r c t g ⁡ 4 − 2 2 8 2 − 11 ≈ 72 , 968751 ∘ , {\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,} γ = 180 ∘ − 2 α ≈ 34 , 062496 ∘ . {\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.}

Покрытие евклидовой плоскости

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы в головоломках

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 4 августа 2018 года.