Математические уравнения

Уравнение

Первое печатное появление знака равенства в книге Роберта Рекорда в 1557 году (записано уравнение 14x + 15 = 71)

Уравне́ние — равенство вида

f ( x 1 , x 2 … ) = g ( x 1 , x 2 … ) {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\dots \right)=g\left(x_{1},x_{2}\dots \right)} ,

где чаще всего в качестве f , g {\displaystyle f,g} выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи — например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и другие.

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения x = f(x)

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения

Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.

Третье важное свойство задаётся теоремой: если функции f , g {\displaystyle f,g} заданы над областью целостности, то уравнение

f ( x ) ⋅ g ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)\cdot g(x)=0}

эквивалентно совокупности уравнений

f ( x ) = 0 , g ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0,\qquad g(x)=0} .

Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений, и позволяет находить корни первого уравнения в два приёма, решая каждый раз более простые уравнения.

Основные свойства

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

  1. в любой части уравнения можно раскрыть скобки;
  2. в любой части уравнения можно привести подобные слагаемые;
  3. любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный;
  4. к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение;
  5. из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение;
  6. обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Следствие уравнения и посторонние корни

Уравнение

F ( x ) = G ( x ) {\displaystyle F\left(x\right)=G\left(x\right)}

называется следствием уравнения

f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)=g\left(x\right)} ,

если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.

Пример

Уравнение 2 x 2 − 1 = x {\displaystyle {\sqrt {2x^{2}-1}}=x} при возведении обеих частей в квадрат даёт уравнение 2 x 2 − 1 = x 2 {\displaystyle 2x^{2}-1=x^{2}} , или x 2 = 1 {\displaystyle x^{2}=1} . Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить; оно имеет два корня x = 1 {\displaystyle x=1} и x = − 1 {\displaystyle x=-1} .

При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество 1 = 1 {\displaystyle {\sqrt {1}}=1} . При подстановке другого корня получается неправильное утверждение 1 = − 1 {\displaystyle {\sqrt {1}}=-1} . Таким образом, второй корень нужно отбросить как посторонний.

Виды уравнений

Различают алгебраические уравнения, уравнения с параметрами, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ существования и количества корней в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения не выше четвёртой степени: линейное, квадратное, кубическое уравнения и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнения, в которые входят трансцендентные функции, называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют вычислительные (численные) методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения.

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

P ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 , {\displaystyle P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0,}

где P {\displaystyle P} — многочлен от переменных x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} , которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P {\displaystyle P} обычно берутся из некоторого поля F {\displaystyle F} , и тогда уравнение P ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 {\displaystyle P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0} называется алгебраическим уравнением над полем F {\displaystyle F} . Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P {\displaystyle P} .

Например, уравнение

y 4 + x y 2 + y 2 z 5 + x 3 − x y 2 + 3 x 2 − sin ⁡ 1 = 0 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+{\sqrt {3}}x^{2}-\sin {1}=0}

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Линейные уравнения

  • в общей форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + b = 0 {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0}
  • в канонической форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b}

Квадратные уравнения

a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0}

где x {\displaystyle x} — свободная переменная, a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} — коэффициенты, причём a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} .

Выражение a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом. Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной x {\displaystyle x} , обращающее квадратный трёхчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент a {\displaystyle a} называют первым или старшим, коэффициент b {\displaystyle b} называют вторым или коэффициентом при x {\displaystyle x} , c {\displaystyle c} называется свободным членом этого уравнения. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a {\displaystyle a} : x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} , где p = b a {\displaystyle p={\frac {b}{a}}} , а q = c a {\displaystyle q={\frac {c}{a}}} . Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Для нахождения корней квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражение D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} .

1) если D > 0 {\displaystyle D>0} 2) если D = 0 {\displaystyle D=0} 3) если D < 0 {\displaystyle D<0}
то корней два, и для их отыскания используют формулу x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a ( 1 ) {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)} то корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях, или о корне кратности 2), и он равен − b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} то корней на множестве действительных чисел нет.

Графиком квадратичной функции f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c} в прямоугольных координатах является парабола. Она пересекает ось абсцисс в точках, соответствующих корням квадратного уравнения f ( x ) = 0 {\displaystyle f\left(x\right)=0} .

Кубические уравнения

График кубической функции a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0}

Для графического анализа кубического уравнения в прямоугольных координатах используется кубическая парабола.

Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду

y 3 + p y + q = 0 {\displaystyle y^{3}+py+q=0} ,

поделив его на a {\displaystyle a} и подставив в него замену x = y − b 3 a {\displaystyle x=y-{\tfrac {b}{3a}}} . При этом коэффициенты будут равны:

q = 2 b 3 27 a 3 − b c 3 a 2 + d a = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 {\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}} , p = c a − b 2 3 a 2 = 3 a c − b 2 3 a 2 {\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}} .

Уравнение четвёртой степени

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками. f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0. {\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.}

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если a > 0 {\displaystyle a>0} , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, и следовательно, имеет глобальный минимум. Аналогично, если a < 0 {\displaystyle a<0} , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, и следовательно, имеет глобальный максимум.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений вида:

Здесь m {\displaystyle m} — количество уравнений, а n {\displaystyle n} — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной. Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. Решение системы — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Уравнения с параметрами

Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:

  1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
  2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

a x + 1 = 4 , {\displaystyle a\,x+1=4,}

Пример нелинейного уравнения с параметром:

log x 2 a + 3 7 − x = 5 , {\displaystyle {\mbox{log}}_{x^{2}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,}

где x {\displaystyle x} — независимая переменная, a {\displaystyle a} — параметр.

Трансцендентные уравнения

Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:

  • cos ⁡ x = x {\displaystyle \cos x=x}
  • lg ⁡ x = x − 5 {\displaystyle \lg x=x-5}
  • 2 x = lg ⁡ x + x 5 + 40 {\displaystyle 2^{x}=\lg x+x^{5}+40}

Более строгое определение таково: трансцендентное уравнение — это уравнение вида f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)=g\left(x\right)} , где функции f {\displaystyle f} и g {\displaystyle g} являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

Функциональные уравнения

Основная статья: Функциональное уравнение

Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Например:

  • функциональному уравнению

f ( s ) = 2 s π s − 1 sin ⁡ ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) f ( 1 − s ) {\displaystyle f\left(s\right)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma \left(1-s\right)f\left(1-s\right)} где Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана ζ.

  • Следующим трём уравнениям удовлетворяет гамма-функция; она является единственным решением этой системы трёх уравнений:

f ( x ) = f ( x + 1 ) x {\displaystyle f\left(x\right)={f\left(x+1\right) \over x}} f ( y ) f ( y + 1 2 ) = π 2 2 y − 1 f ( 2 y ) {\displaystyle f\left(y\right)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f\left(2y\right)} f ( z ) f ( 1 − z ) = π sin ⁡ ( π z ) {\displaystyle f\left(z\right)f\left(1-z\right)={\pi \over \sin \left(\pi z\right)}} (формула дополнения Эйлера).

  • Функциональное уравнение

f ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=\left(cz+d\right)^{k}f\left(z\right)} где a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} являются целыми числами, удовлетворяющими равенству a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} , то есть | a b c d | = 1 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=1} , определяет f {\displaystyle f} как модулярную форму порядка k.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y ( x ) {\displaystyle y\left(x\right)} , имеющая на некотором интервале (a, b) производные y ′ ( x ) , y ″ ( x ) , … , y ( n ) ( x ) {\displaystyle y’\left(x\right),y»\left(x\right),\dots ,y^{\left(n\right)}\left(x\right)} до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на

  • обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента:

F ( x , y , y ′ , y ″ , . . . , y ( n ) ) = 0 {\displaystyle F\left(x,y,y’,y»,…,y^{(n)}\right)=0} или F ( x , y , d y d x , d 2 y d x 2 , . . . , d n y d x n ) = 0 {\displaystyle F\left(x,y,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},…,{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}\right)=0} , где y = y ( x ) {\displaystyle y=y\left(x\right)} — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной x {\displaystyle x} ; штрих означает дифференцирование по x {\displaystyle x} .

  • и дифференциальные уравнения в частных производных, в которых входящие функции зависят от многих переменных:

F ( x 1 , x 2 , … , x m , z , ∂ z ∂ x 1 , ∂ z ∂ x 2 , … , ∂ z ∂ x m , ∂ 2 z ∂ x 1 2 , ∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 2 , ∂ 2 z ∂ x 2 2 , … , ∂ n z ∂ x m n ) = 0 {\displaystyle F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial z}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}},\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n}}}\right)=0} , где x 1 , x 2 , … , x m {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}} — независимые переменные, а z = z ( x 1 , x 2 , … , x m ) {\displaystyle z=z\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\right)} — функция этих переменных.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

> Примеры уравнений

См. также

  • Диофантово уравнение
  • Линейное уравнение
  • Квадратное уравнение
  • Решение какого-либо уравнения построением
  • Система уравнений
  • Переменная

> Примечания

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

Литература

  • Бекаревич А. Б. Уравнения в школьном курсе математики. — Минск: Нар. асвета, 1968. — 152 с.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
    • Переиздание: Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.

Ссылки

  • Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии.
  • Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
  • Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
  • Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
  • EqWorld — Мир математических уравнений — содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.

Линейные уравнения

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме «Уравнения».

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x — переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

  1. 3 x = 2
  1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

2 x − 4 x = 2 − 1

− 2 x = 1

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Ответ: x = − 0,5

  1. x 2 − 1 = 0

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

  1. x ( x + 3 ) − 8 = x − 1

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Примеры:

  1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

0 = 0

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ;   + ∞ )

  1. 2 x − 4 = 2 ( x − 8 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

0 = − 12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x — переменная, a , b и c — некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
  3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
  4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
  5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
  6. Если D < 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

  1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 — будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

  1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 — будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

Ответ: x = 2

  1. 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D < 0 — решений нет.

Ответ: x ∈ ∅

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a — число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x — переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 — числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

  1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,   x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

  1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

  • c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )
  • b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) — некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
  2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
  3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
  4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

  1. Выписать ОДЗ:

g ( x ) ≠ 0

2 − x ≠ 0

− x ≠ − 2

x ≠ 2

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

  1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 — Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 — будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

  1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

ОДЗ: x ≠ 2

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Ответ: x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Решить систему уравнений — найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

  1. Метод подстановки.
  2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  3. Решить уравнение с одной неизвестной.
  4. Найти оставшуюся неизвестную.

Пример:

Решить систему уравнений методом подстановки

{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Решение:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

  1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

{ x = 8 − 2 y 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

  1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

24 − 6 y − y = − 4

− 7 y = − 4 − 24

− 7 y = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

y = 4

  1. Найти оставшуюся неизвестную.

y = 4

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

  1. x = 0, y = 4
  2. { x = 0 y = 4
  3. ( 0 ;   4 )

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

если

{ a = b c = d

то

( a + c ) = ( b + d )

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Пример:

Решить систему уравнений методом сложения

{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

{ x + 2 y = 8   |   ⋅ ( − 3 ) 3 x − y = − 4

{ ( − 3 ) ⋅ ( x + 2 y ) = ( − 3 ) ⋅ 8 3 x − y = − 4

{ − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

Математичка (Math Lady, Confused Lady) — четырехпанельная картинка с изображением задумавшейся над чем-то женщины, поверх которой наложены математические формулы.

Происхождение

Женщина из мема — бразильская актриса Рената Сорра (Renata Sorrah), сыгравшая в телесериале «Хозяйка судьбы» бывшую проститутку Марию де Назаре Тедеску. Изначально кадры из сериала с ее изображением стали картинками-реакциями или гифками для демонстрации различных ситуаций, связанных с озадаченностью, задумчивостью и т.д. Первое известное такое использование этих мемов датируется октябрем 2013 года.

К 2016 году гифки с Ренатой стали популярными у англоязычных пользователей. А наложить на ее изображение математические формулы впервые додумались на сайте 9Gag. Это был пост с надписью «Когда женщина говорит, что беременна 29 недель».

Мем показывал озадаченность во время подсчетов, если бы вы хотели понять, беременна ли девушка от вас. После этого поста стали появляться и другие похожие картинки с другими подписями. Мем добрался и до рунета, но не стал особо популярным.

Кстати, есть аналогичный мем, на котором изображен актер Зак Галифианакис, сыгравший в «Мальчишнике». На этом макро персонаж тоже о чем-то думает, а перед ним разбросаны математические формулы.

Значение

Мем «Математическая леди» передает чувства человека, которые он испытывает во время сложных подсчетов чего-либо. Обычно такие картинки сопровождаются надписью «Когда тебе сказали….» — логичным продолжением этой фразы и является графическое изображение женщины с наложенными математическими формулами. Сами формулы использованы здесь для комизма и гиперболизации, чтобы показать, что поставленная задача сложна, чтобы сходу ее решить.

Галерея

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Математические мемы

В этом посте хочу показать, что информацию, которую нам преподают в университете можно воспринимать по разному. Многие говорят, что математика — это скучно и сложно. Следующая подборка мемов должна изменить вашу точку зрения. Каждый мем будет на английском, потому что все смешные на русском мы уже публиковали в нашем жж. Поэтому к некоторым будет прикреплен спойлер с пояснением и переводом(возможно).

Несколько разминочных:

Справа на картинке обозначение производной, которое придумал Ньютон. Встречается довольно редко

В меме идет речь о формуле Эйлера: e^(i*pi) = -1

Wolf, ram(баран), alpha созвучны с одним очень известным сайтом

На фото Тейлор Свифт

Отдельно среди всех мемов хочется отметить те, которые связаны с взятием производной константы или экспоненты(их очень много и они очень полюбились людям):

А так же мемы, про про мнимую единицу:

Смысл в том, что ваша девушка и мнимая единица имеют что-то общее

Остальные я считаю, что нужно выделить отдельно:

Боюсь, что даже переводить не стоит. Но если интересно, то можно пораскладывать экспоненту в ряд Тейлора

Там кольцо)

Смысл в созвучии буквы «y»(ей обозначают ось ординат) и словом «why»

Мем действительно сложный. Целые числа в английском языке переводятся как «integrals», поэтому текст можно прочитать как
Are you gay?
Nah(нет) I’m into girls

Когда нужно показать существование сходящейся подпоследовательности. Из теоремы Больцано-Вейерштрасса

Статья действительно существует на википедии

Из правила дифференцирования Лопиталя

Здесь fog(туман) выглядит точно так же, как и композиция двух функций

В пределе все равно что-то выйдет

Справа изображен главный злодей мультфильма «Гадкий Я» — «Вектор»

Эту статью можно найти на википедии. Она называется «группа Титса»

На этом у меня все. Искренне рекомендую подписаться всем на reddit группу r/mathmemes. Все, что я нашел было взято там.
https://www.reddit.com/r/mathmemes/
Специально для жж матфака Антон Морозов

5 математических уравнений, над которыми сейчас ломает голову весь интернет

  • 84 13 78 49k

    Пользователи интернета поделились своими маленькими поступками, которые делают мир лучше

  • 80 19 94 24k

    9 причин, по которым женщины влюбляются в тиранов и живут с ними даже тогда, когда все плохо

  • 92 26 74 30k

    Бывший угонщик и автомеханики поделились секретами, которые помогут сохранить ваш автомобиль

  • 225 43 160 117k

    17 отважных комментаторов, которые заткнут за пояс любого грубияна в сети

  • 210 21 125 61k

    17 комментариев от пользователей, которые рождены для того, чтобы смешить других

  • 182 19 94 38k

    14 работ американского парикмахера, который научился возвращать мужчинам молодость

  • 139 19 96 69k

    Россиянка переехала в Финляндию и рассказывает, как живут самые счастливые люди в мире

  • 158 15 55 39k

    20 примеров того, как сильно может измениться собака, если за нее возьмется настоящий профи

  • 167 8 84 22k

    20 магазинов, которые сделали ставку на сервис и не прогадали

  • 225 34 236 99k

    19 странных, но полезных в хозяйстве предметов, которыми почему-то не пользуются в России

  • 209 32 91 123k

    17 твитов о девушках, которых явно не стоило выводить из себя

  • 166 50 239 59k

    Почему я выбрала отношения по выходным и не изменяю своим принципам более 10 лет

  • 141 23 84 44k

    13 вопросов о наших любимых мультфильмах, на которые сложно найти ответ

  • 75 16 49 33k

    8 моделей, глядя на которых начинаешь ценить каждую особенность своего тела

  • 144 17 75 74k

    Пользователи сети рассказали о том, что разрушило их отношения с родными и близкими (И эта откровенность сбивает с ног)

  • 117 24 90 94k

    10 маркетинговых секретов бренда Crocs, который обул весь мир в пластиковые тапочки

Часто, беседуя со старшеклассниками об исследовательских работах по математике, слышу следующее: «Что можно нового открыть в математике?» А действительно: может быть все великие открытия сделаны, а теоремы доказаны?

8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.
По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем — по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:
1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)
Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.
2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)
Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.
4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких «кирпичиков» и объектов.
5. Уравнения Навье — Стокса (сформулированы в 1822 году)
Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.
6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)
Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика — нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.
7. Уравнения Янга — Миллса (сформулированы в 1954 году)
Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга — Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга — Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
Думаю, что этот материал, опубликованный в блоге Интересная наука математика интересен не только студентам, но и школьникам, серьёзно занимающимся математикой. Есть над чем подумать, выбирая темы и направления исследовательских работ.