Как проверить периодичность функции

Определение периодической функции.

Материал для подготовки к коллоквиуму по алгебре.

1. Определение функции.

Функция — зависимость переменной у от переменной x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение переменной у.

2. Определение возрастающей функции.

Возрастающая функция (не убывающая) — если для любых значений х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство (если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции).

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Убывающая функция ( не возрастающая)- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство (большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Чтобы по графику функцииопределить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

Определение четной функции, нечетной функции, функции общего вида.

Функция называется четной, если выполнены следующие два условия:

1. если область определения функции симметрична относительно оси ОУ (если х принадлежит области определения функции, то и – х также принадлежит области определения функции);

2. для любого х из области определения функции выполняется равенство.

Функция называется нечетной, если выполнены следующие два условия:

1. Если область определения функции симметрична относительно оси ОУ (если х принадлежит области определения функции, то и – х также принадлежит области определения функции);

2. для любого х из области определения функции выполняется равенство .

Функция называется функцией общего вида если не выполняются данные условия.

4. Каким условием обладает график четной, нечетной функций?

Свойство. График чётной функциисимметричен относительно оси ОY.

Свойство. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Определение периодической функции.

Функция называется периодической, если существует положительное число Т такое, что . Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

6. Перечислите основные свойства функции y= sin x:

1) Область определения функции — все значения, которые принимает независимая переменная х.

Область определения этой функции — множество всех действительных чисел. Так как вместо хв уравнение y=sin(x) мы можем поставить любое число. D (sin х) = R.

2) Область значений функции- все значения, которые принимает зависимая переменная у.

Область значений этой функции — является отрезок . E (sin х) = .

3)Функция называется периодической,если существует положительное число Т такое, что . Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

Функция y=sin(x) периодическая, с периодом 2π.

4)Функция y=sin(x) нечетная. Вспомним, что график нечётной функциисимметричен относительно начала координат.

5)Функция y=sin(x) принимает:

— значение, равное 0, при х =

-наибольшее значение, равное 1, при х = ;

-наименьшее значение, равное -1, при х= — ;

-положительные значения на интервале (0,π) и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

-отрицательные значения на интервале ( )и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

6)Функция y=sin(x):

-возрастает на отрезке , и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

-убывает на отрезке , и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

7. Перечислите основные свойства функции y= cos x:

1)Область определения этой функции — множество всех действительных чисел. D(cos) = R.

2)Область значений этой функции — является отрезок . E (cos)=.

3)Функция y = cos (x) периодическая, с периодом 2 .

4)Функция y=cos(x) четная. Напомню, что график нечётной функции симметричен относительно оси ОY.

5)Функция y=cos(x) принимает:

— значение, равное 0, при х = ;

-наибольшее значение, равное 1, при х = ;

-наименьшее значение, равное -1, при х = ;

-положительные значения на интервале ( ) и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

-отрицательные значения на интервале ( ; ) и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

6)Функция y=cos(x):

-возрастает на отрезке , и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

-убывает на отрезке , и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

Графики функций y=cos(x) и y= sin (x)

8. Перечислите основные свойства функции y= tg x:

1)Область определения этой функции — множество всех действительных чисел, кроме .

2)Область значений этой функции — является множество всех действительных чисел.

3)Функция y = tg (x) периодическая, с периодом .

4)Функция y= tg (x) нечетная.

5)Функция y= tg (x) принимает:

— значение, равное 0, при х = ;

-наибольшее и наименьшее значение, не существуют;

-положительные значения на интервале ( ),

-отрицательные значения на интервале ( ),

6) Функция y= tg (x)возрастает на своей области определения.

9. Перечислите основные свойства функции y= ctg x:

1)Область определения этой функции — множество всех действительных чисел, кроме .

2)Область значений этой функции — является множество всех действительных чисел.

3)Функция y = сtg (x) периодическая, с периодом .

4)Функция y= сtg (x) нечетная.

5)Функция y= сtg (x) принимает:

— значение, равное 0, при х = ;

-наибольшее и наименьшее значение, не существуют;

-положительные значения на интервале ( ),

-отрицательные значения на интервале ( ),

6) Функция y= сtg (x)убывающая на своей области определения.

Простейшие преобразования графиков

Пусть в данной системе координат вычерчен график некоторой функции

Из этого графика с помощью специальных приемов легко получить график сходных функций; таких как

,

а также более общего вида

,

где — некоторые константы.

  1. График функции получается растяжениемили сжатиемвm раз исходного графика вдоль оси Оy.

Если же , то, построив сначала график функции, затем строим симметричный с ним относительно осиОх искомый график функции .

  1. График функции получается с помощью параллельного переноса (сдвига) графикавдоль осиОy вверх или внизнаn единиц.

  1. График функции получается из графикасжатиемили растяжениемего ва раз вдоль оси Ох. (т.е. к оси Оy).

  1. График функции y=f(x+b) получается из графика y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) его вдоль оси Ох влево (b>0) или вправо (b<0) на b единиц.

Построение графиков подобного рода в общем случае

сводится к проведению в соответствующем порядке операций 1-4.

АЗ-1

1. . Вычислить:,,,

2. . Вычислить:,,,

3. Найти область определения функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

4. Исследовать функции на четность или нечетность

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

5. Найти наименьший период функций:

а) ; б)

6. Построить графики функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

ж) ;

з)

и)

ИДЗ-1

Задание 1. Найти области определения и значения функций

1)

11)

21)

2)

12)

22)

3)

13)

23)

4)

14)

24)

5)

15)

25)

6)

16)

26)

7)

17)

27)

8)

18)

28)

9)

19)

29)

10)

20)

30)

Задание 2. Исследовать функцию на четность или нечетность

№ зад.

№ вар.

Задание 3. Найти наименьший период функции