Как найти апофему пирамиды

Совет 1: Как обнаружить апофему

Апофемой в пирамиде называют отрезок, проведенный из ее вершины к основанию одной из боковых граней, если отрезок перпендикулярен этому основанию. Боковая грань такой объемной фигуры неизменно имеет треугольную форму. Следственно при необходимости вычисления длины апофемы возможно применение свойств как многогранника (пирамиды), так и многоугольника (треугольника).

Вам понадобится

  • – геометрические параметры пирамиды.

Инструкция

1. В треугольнике боковой грани апофема (f) является высотой, следственно при знаменитой длине бокового ребра (b) и угле (?) между ним и ребром, на которое опущена апофема, дозволено применять знаменитую формулу вычисления высоты треугольника. Умножьте заданную длину ребра на синус вестимого угла: f = b*sin(?). Эта формула применима к пирамидам всякий (положительной либо неправильной) формы.
2. Для вычисления всякой из 3 апофем (f) положительной треугольной пирамиды довольно знать каждого один параметр – длину ребра (a). Это объясняется тем, что грани такой пирамиды имеют форму равносторонних треугольников идентичных размеров. Для нахождения высот всего из них вычислите половину произведения длины ребра на квадратный корень из 3: f = a*?3/2.
3. Если вестима площадь (s) боковой грани пирамиды, в дополнение к ней довольно знать длину (a) всеобщего ребра этой грани с основанием объемной фигуры. В этом случае длину апофемы (f) находите удвоением соотношения между площадью и длиной ребра: f = 2*s/a.
4. Зная всеобщую площадь поверхности пирамиды (S) и периметр ее основания (p) тоже дозволено вычислить апофему (f), но только для многогранника положительной формы. Удвойте площадь поверхности и поделите итог на периметр: f = 2*S/p. Форма основания в этом случае не имеет значения.
5. Число вершин либо сторон основания (n) надобно знать в том случае, если в условиях даны длина ребра (b) боковой грани и величина угла (?), тот, что образуют два смежных боковых ребра верной пирамиды. При таких начальных условиях вычисляйте апофему (f) умножением числа сторон основания на синус вестимого угла и возведенную в квадрат длину бокового ребра с дальнейшим делением полученной величины напополам: f = n*sin(?)*b?/2.
6. В положительной пирамиде с четырехугольным основанием для нахождения длины апофемы (f) дозволено применять высоту многогранника (H) и длину ребра основания (a). Извлеките квадратный корень из суммы возведенной в квадрат высоты и четверти от возведенной в квадрат длины ребра: f = ?(H?+a?/4).

Совет 2: Как обнаружить апофему в пирамиде

Апофема – высота боковой грани, проведенная в положительной пирамиде из её вершины. Ее дозволено обнаружить как в обыкновенной верной пирамиде, так и усеченной. Разглядим оба случая

1. Верная пирамидаВ ней все боковые ребра равны, боковые грани – равнобедренные равные треугольники, а основание – верный многоугольник. Т.к. все апофемы верной пирамиды равны, то довольно обнаружить одну в любом треугольнике. Треугольники являются равнобедренными, а апофема – это высота. Высота, проведенная в равнобедренном треугольнике из вершины к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана делит сторону напополам, а биссектриса угол на два равных угла. Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины к основанию.
2. Возможен, вестимы все стороны равнобедренного треугольника и проведена медиана, которая делит основание на два равных отрезка. Т.к. медиана – это высота, то она является перпендикуляром, т.е. угол между медианой и основанием равен 90 градусов. Значит, получается прямоугольный треугольник. Боковая сторона является гипотенузой, половина основания и высота(медиана) – это катеты. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким методом дозволено обнаружить высоту.
3. Пускай вестим угол, лежащий наоборот основания. И какая-либо одна из сторон (либо боковая, либо основание). Биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является высотой. Следственно вновь получается прямоугольный треугольник. Вестим угол и одна из сторон. С подмогой синуса, косинуса и тангенса дозволено обнаружить высоту. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, катет- отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс – отношение синуса к косинусу либо противолежащего катета к прилежащему. Подставив знаменитые стороны, вычислите высоту.Площадь боковой поверхности верной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
4. Верная усеченная пирамидаБоковые грани – верные трапеции. Боковые ребра равны. Апофема – высота, проведенная в трапеции. Пускай знамениты два основания и боковое ребро. Из вершины проводятся высоты так, дабы на большем основании они отсекли прямоугольник. Тогда, если мысленно убрать прямоугольник, останется равнобедренный треугольник, высоту которого дозволено обнаружить по первому методу. Если вестимы тупые углы трапеции, то при проведении высоты, нужно вычесть угол, равный 90 градусов(т.к. высота – это перпендикуляр)из тупого. Тогда станет вестим острый угол в треугольнике. Высоту либо апофему вновь же дозволено обнаружить по 1 методу.

Совет 3: Как обнаружить площадь грани в пирамиде

Пирамида – одна из самых необъяснимых фигур в геометрии. С ней объединяют потоки космической энергии, многие древние народы избирали именно эту форму для строительства своих культовых сооружений. Тем не менее, с точки зрения математики, пирамида – это каждого лишь многогранник, с многоугольником в основании, а гранями являются треугольники с всеобщей вершиной. Разглядим, как обнаружить площадь грани в пирамиде.

Вам понадобится

  • калькулятор.

1. Пирамиды бывают следующих типов: верная (в основании – положительный многоугольник, а проекция вершины пирамиды на основание – его центр), произвольная (в основании лежит всякий многоугольник, а проекция вершины необязательно совпадает с его центром), прямоугольная (одно из боковых ребер составляет с основанием прямой угол) и усеченная. В зависимости от того, сколько сторон имеет многоугольник в основании пирамиды, ее называют 3-, четырех-, пяти либо, к примеру, десятиугольной.
2. От того что боковая грань всякий пирамиды (помимо усеченной) – это треугольник, нахождение площади грани сводится к определению его площади. В усеченной пирамиде боковая грань – трапеция. Выходит, разберемся, как обнаружить площадь грани пирамиды в всяком отдельном случае.
3. Для всех видов пирамид, помимо усеченной:Перемножьте длины основания треугольника и опущенной на него высоты из вершины пирамиды. Поделите полученное произведение на 2 – это и будет желанная площадь боковой грани пирамиды.
4. Усеченная пирамидаСложите оба основания трапеции, являющейся гранью такой пирамиды. Поделите полученную сумму на два. Умножьте полученное значение на высоту грани -трапеции. Полученная в итоге величина – площадь боковой грани пирамиды данного типа.
Видео по теме
Полезный совет
Площадь боковой поверхности и основания, периметр основания пирамиды и ее объем объединяют между собой определенные формулы. Это порой дает вероятность вычислить значения недостающих данных, нужных для определения площади грани в пирамиде.Объем всякий не усеченной пирамиды равен трети от произведения высоты пирамиды и площади основания. Для положительной пирамиды объективно: площадь боковой поверхности равна половине периметра основания умноженного на высоту одной из граней. При расчете объема усеченной пирамиды, взамен площади основания подставляется величина, равная сумме площадей верхнего, нижнего основания и квадратного корня из их произведения.

Свойства пирамиды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называемую вершиной пирамиды.

В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания, называется правильной пирамидой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Высотой пирамиды называется отрезок, опущенный из вершины пирамиды перпендикулярно основанию:– высота:. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Апофемой правильной пирамиды называется высота боковой грани:– апофема.

  1. Около основания пирамиды можно описать окружность, если боковые ребра имеют одинаковую длину, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности. Боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы.
  2. Если боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, то около основания пирамиды можно описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, а также высоты боковых граней имеют равную длину.
  3. Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани

  4. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту пирамиды

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания см и высотой см.
Решение Рассмотрим пирамиду . В основании пирамиды лежит правильный четырехугольник – квадрат со стороной см. Площадь квадрата: см. Высота пирамиды см. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

Ответ см

ПРИМЕР 2

Задание Апофема правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а двугранный угол при основании равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на апофему:

По условию задачи апофема известна, осталось найти периметр основания. Двугранный угол между боковой гранью и основанием – это угол между апофемой высотами и высотой основания . Так как пирамида правильная, то основание ее высоты находится в центре вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник :

Найденный отрезок является радиусом вписанной окружности, который связан со стороной треугольника следующим соотношением , откуда

Найдем периметр основания:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

Ответ см